Mühendislik için matematik

[elektronikhobi]

Arkadaşlar şu şekilde iki tane işlevimiz olsun. Burada aslında f(x) devreden bir devre elemanının üzerinden geçen akımı iD gösteriyor. x ise gene devre elemanın üzerinden geçen gerilimi vD gösteriyor.

Benim sormak istediğim bu iki fonksiyonun matematiksel olarak çözüm kümesini nasıl buluruz? Aslında bu soruyu deneme yanılma yöntemiyle çözdüm..

Ayrıca mühendislik hesaplamaları yapabilmek için matematik konusunda neleri öğrenmeliyim.

Bu aralar herkes ikinci dereceden diferansiyel denklemlerden bahsediyor. 

[ahfxg]

İki denklem birbirine eşitlenir.
Daha sonra x çekilir.
x herhangi bir denklemde yerine konur.
y bulunur.

Matlabde yanılmıyorsam solve komutu bunu yapıyordu.

[z]

Bu iki fonksiyonun esitlenmesi ile olusan denklem cebrik bir denklem olmadigi icin isin zor.

Koku Newton raphson gibi numerik yontemle bulabilirsin.

Bir diger onerim ise,  e^x fonksiyonunu seriye acip x^2 li terime kadar alip 2.derece denklemi cozmek. Cozebilirsen x^3 lu terimi de kullanabilirsin.

2. oneride hatan buyuk olur.

[cicjoe]

ms math: (x≈0.56162158369, y≈0.43837841631)
matlab:
x->(log(1125899906842624) - log(3060513257434037) + lambertw(0, -exp(log(3060513257434037) - log(1125899906842624))*(log(1125899906842624)/4 - log(3060513257434037)/4)))/(log(1125899906842624) - log(3060513257434037))
y->1 - (log(1125899906842624) - log(3060513257434037) + lambertw(0, -exp(log(3060513257434037) - log(1125899906842624))*(log(1125899906842624)/4 - log(3060513257434037)/4)))/(log(1125899906842624) - log(3060513257434037))

[mozkan87]

Arkadaşlar bu tür işlemler için wolframalpha'yı öneririm insanın her kullandığı bilgisayarda matlab yada maple gibi programlar olmuyor. Online olarak mathematica tabanlı olarak çalışan bu siteyi belki çoğunuz biliyorsunuzdur ama bilmeyenler için yazmak istedim. Ayrıca bu sorunun cevabı aşağıdaki linkte.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=slove%281-x%3D1%2F4*e^x%29%29

[cicjoe]

guzel siteymis gercekten. tesekkurler.

[OptimusPrime]

matlab ın cevabı
1 - lambertw(0, 1/4*exp(1))

buda yaklaşık 0.5616 ediyor...

[cicjoe]

matlab ın cevabı
1 - lambertw(0, 1/4*exp(1))

buda yaklaşık 0.5616 ediyor...

benim matlab sonucuna ben de sasirdim acikcasi. muhtemelen bir yerinde yanlis yazmisimdir. sonuc daha karmasik cunku sorudan. cozmeseydin daha iyiydi dedim

[OptimusPrime]

senin matlab neden öyle bir çözüm vermiş ki. ilginç...

[elektronikhobi]

Arkadaşlar yanıtlar için teşekkürler. Wolfram'ın bu tür denklemleri çözebildiğini bilmiyordum.

Ama ben soruyu biraz yanlış sormuşum galiba. Örneğin ben de bu soruyu deneme yanılma yöntemiyle çözdüm.

vD = 1 - 1/4 * (e ^ vD)

vD yerine 1V koyunca buradan 0.32V, 0.65V, 0.52V, 0.58V, 0.55V  ve sonuç olarak 0.56V çıkıyor. iD ise 0.44 A oluyor.

Ama bu deneme yanılma yöntemiyle her türlü denklem çözülemiyormuş sanırım. Onun için benim öğrenmek istediğim bu tür bir denklemi kağıt kalemle çözebilmek için matematiğin hangi kısmını öğrenmeliyim.

Birde henüz karşımıza çıkmadı ama herkes ikinci dereceden diferansiyel denklemlerden bahsediyor.

Aslında bu kadar matematiği ilginç bulmamın nedeni örneğin bir müzik sinyalini ışık yoluyla aktarmak istiyoruz.



Sağ tarafta lede çok benzer (aslında yukarıda sorduğum örnek tam olarak denklemi iD = a * e ^(b * vD) şeklinde. ledin akım gerilim ilişkisi daha karışıkmış sanırım) bir devre elemanı var. Sağ tarafta bir ışıl alıcı var. Şimdi sorun ledin doğrusal, bir boyutlu bir devre elemanı olmamasından ("nonlinear") kaynaklanıyor.



Şimdi bu müzik sinyalini dönüştürdüğümüzde çok ilginç bir şey oluyor. Örneğin sinüs şeklindeki yeşil sinyal kırmızı sinyale dönüşüyor. Ve ses bozuluyor. ("distortion")

Bana ilginç gelen şey o yeşil renkli sinyalden kırmızı sinyalin nasıl oluştuğunu anlatmasıydı. Gerçekten bu kadarcık bir matematikle böyle bir problemin çözülebiliyor olması çok ilginç.

[elektronikhobi]

Evet şimdilik birinci ikinci dereceden türev denklemleri ve Taylor serisini öğrenmek gerekiyormuş.

Bu arada Türkçe bir arkadaş anlatmış. Gayet de güzel anlatıyor.

Diferansiyel Denklemler 1.flv

Ama nasıl bu kadar konuyu yetiştireceğim bilmiyorum açıkçası 

[fractal]

hocam led demek tek yönde akım geçirir.dolayısıyla kırımızı gibi negatitif alternası kırpılmıştır.ondan öyle..

[berat23]

aslında böyle transandantal fonksiyonların değerini bulmak için seri açılımı falan yapmak gerekir,fakat pratikte kullanılan birşey değildir.genellikle bilgisayarlara yaptırılır.mühendislik demek illa matematiği en dolambaçlı yoldan kullanmak demek değildir ki zaten bunlar temel calculus konuları.hiç dif. denkleme falan girmeye gerek yok yani,pekala bir hesap makinesi dahi çözebilir bu sorunu.

[elektronikhobi]

Hayır aslında ondan değil.

Şöyle ki örneğin yukarıdaki resimde vD'nin zamana bağlı olarak (t) değişimini incelerseniz orada 3 tane çarpı işareti ile işaretlenen nokta var. Bunları iD zaman grafiğinde eşleştirirseniz karşılık gelen noktaları gösteriyor. Ama vD zaman grafiğinde vD'nin eksi değerleri için çarpı koyup iD zaman grafiğinde karşılık gelen noktaları bulursanız iD grafiğinin düz bir şekil aldığını görebilirsiniz. Bu hemen yanında bulunan grafikte daha net görülebiliyor. vD'nin eksi değerleri için iD 0'a yakın bir değer alıyor. Sonuç olarak bizim sinüs şeklindeki sinyalimiz bozularak sesin bozulması ("distortion") denilen olay meydana geliyor.

Yani asıl sorun vD'den  iD'ye dönüşümün doğrusal olmaması.



Sorunu çözmek için küçük işaret çözümleme ("small signal analysis") denilen bir yöntem kullanıyoruz. Yukarıdaki resimde yeşille gösterilen ve aşağıya bakan sinyal benim müzik sinyalim olsun. Yaptığımız işlem bunu biraz sağa kaydırıp, küçültmek. Böylelikle üstte mavi ile gösterilen kısıma dikkatle baktığımızda bir dirence, yani doğrusal bir devre elemanına çok benzediğini görüyoruz. Ve sadece bu kısımdan grafiği yansıttığımızda çok ilginç bir şey oluyor. Müzik sinyalini bozulma olmadan aktarmış oluyoruz.

Bir de işin ilginç tarafı bu aslında dikkat ederseniz bir led değil. Lede benzer ama denklemi vD = 1 - 1/4 * (e ^ vD) şeklinde bir devre elemanı. Sanırım hoca bu devre elemanını derste kullanmak için tasarlamış. Ama daha basit olsun diye mi bu elemanı kullanmış emin değilim.

Aslında bir önceki mesajda sadece örnek olsun diye verdiğim videoda tam olarak da işaret çözümleme işlemini anlatıyor. İlk durumda sinyali normal olarak gönderiyor. Sonra sağa kaydırıp küçültüyor ve bozulma ortadan kalkmış oluyor.

6002-L7-oei12-5_100

[elektronikhobi]

aslında böyle transandantal fonksiyonların değerini bulmak için seri açılımı falan yapmak gerekir,fakat pratikte kullanılan birşey değildir.genellikle bilgisayarlara yaptırılır.

Evet haklısınız. Emin değilim ama z arkadaşımızın bahsettiği yöntemlerden bir tanesi kullanılarak yapılıyormuş. Zaten bu denklemlerin matematiksel çözümünden sorumlu değilmişiz.

mühendislik demek illa matematiği en dolambaçlı yoldan kullanmak demek değildir ki zaten bunlar temel calculus konuları.

Evet haklısınız. Aynen katılıyorum. Mühendislik demek pratik olarak bir problemi çözebilmek demektir. Derslerin yanında böyle ilginç konuların da bahsedildiği ve problemlerin böyle bir uzman gözüyle nasıl çözüldüğünü gösteren bir bölüm var. Örneğin orada en son bir EKG cihazı yapmışlardı. Ve internetteki devre şemalarının yarısından fazlası hatalıymış. Sakın yapmayın yoksa hayatınıza mal olabilir demişlerdi. Neyse orada Gerry ve Chris isimli iki tane hoca var. Onlar da özellikle böyle problemleri neredeyse kafadan çözecekler.

hiç dif. denkleme falan girmeye gerek yok yani,pekala bir hesap makinesi dahi çözebilir bu sorunu.

Evet. Ben de zaten bu tür denklemleri deneme yanılma yöntemiyle hesap makinesiyle çözüyorum. Hatta Excel'de bir formül yazarak da yapılabilir. Ancak Taylor serisi bu hafta işlendi. İlerleyen derslerde de birinci, ikinci dereceden türev hesaplamalarının gerekli olduğunu söylemişler. O yüzden çalışmaya karar verdim.