Vektör Kalkülüs bir kaç soru

[Farukc]

Herhangi bir vektör alanımız olsun. Bu vektör alanının herhangi bir noktasına bir parçacık yerleştirelim. Ve bu vektör alanı parçacığa bir kuvvet uygulasın. Parçağın t anındaki konumunu nasıl ifade edebilirim?

Örnek Soru:f(x,y)=-xi-yj vektör alanı veriliyor. Ve şekildeki gibi bir vektör alanı oluşuyor. A(2,5) noktasındaki m=1kg parçacağın yer değiştirme vektörü r(t) nin denklemi nedir?



Bir diğer kafamı kurcalayan soru ise yol denklemini bildiğimiz bir parçacığa uygulanan vektörel kuvvet alanını ifade edebilirmiyiz. Örneğin zamana göre yol denklemi verilen parçacığın  vektörel alanı şöyle olsun:
x=x(t)=t
y=y(t)=sin t


Bu vektörel alanın denklemi bu bilgilere dayanılarak bulunabilirmi?

[Farukc]

Herhangi bir fikri olan yokmu?

[Karamel]

benim var.

sorularinizin butun yanitlari bu http://faculties.sbu.ac.ir/~sadough/pdf/Advanced%20Engineering%20Mathematics%2010th%20Edition.pdf kitapta var.

line i paramatrize etmek icin.

https://www.youtube.com/watch?v=PyPp4QvQY3Q
mesaj birleştirme:: 03 Ocak 2016, 16:33:12
https://www.youtube.com/watch?v=QY15VEK9slo
mesaj birleştirme:: 03 Ocak 2016, 16:40:18
yalniz soyle birsey var. vector calculus. advanced calculus chapterlarinda anlatiliyor. parametrization lar da calculus 2 de anlatiliyor. yani sizin once calculus 2 yi anlamis olmaniz lazim.

[t600]

Ben bu konuya başka yerden bakmak istiyorum . Fizikteki enerji formullerini uyguluyabiliriz .  Elimizde ne var  f = m. a  , buraya kütleyi ve    f kuvvetini oluşturan fx  ve fy vektör bileşenlerini koyabiliriz , böylece ivmeyi buluruz , ivmeyi  x ve y ekseni için ayrı ayrı buluruz . sonuçta elimizde ivme var ise sürekli olarak hızı bulup zamanla çarparak konumu bulabiliriz . Aslında bu denemeyi  eski tüplü televizyonun  V ve H  ( yatay dikey ) sargılarına  f kuvvetinin bileşenlerini uygulayan bir mikrodenetleyici ile de yapabiliriz  sonucu canlı olarak görürüz . Yanlız bu parçacık atom altı bir parçacık ise bu kuralların tümü geçersiz olur . Yanı elektron  düzeyinde  uğraşıyorsan .

[Farukc]

Sorum tam olarak bu değil. Videodaki arkadaş yaptığı X=Vt. Başlangıç kordinatı ile hız vektörünü zamanla çarpıp toplayrak konumunu buluyor. Ama vektör alanımız  hızı ifade ettiği koşullarda bu durum geçerli olur.Benim sorum ise eğer vektörel alanımız kuvveti ifade etseydi ne yapacaktık?


   noktasında 1kg kütleli bir parçacığımız olsun. Ve vektör alanımız olsun. Bu durumda parçacığın aldığı yolu şu şekilde tanımlayacaktık:



Ve parçacığı t süre sonraki konumu şu şekilde olacaktı:






şimdi t=2 anındaki konumunu bulalım:




Buraya kadar her şey güzel. Sorun tam buradan sonra şu soruyla başlıyor.

Eğer vektörel alanımız x ve y ye bağımlı olursa yani parçacığa etki eden kuvvet konuma göre değişirse bu  parçacığın konum vektörünü nasıl bulabiliriz?

mesaj birleştirme:: 03 Ocak 2016, 19:24:33
Sorunun cevabı yemek yerken aklıma geldi. Bir deneme yapıp paylaşmayı düşünüyorum.

[Farukc]

Denemeyi yaptım fakat eksik olduğunu fark ettim. Sorunun çözümü şuan karmaşık geliyor ama çok kolay bir çözümü olduğunu düşünüyorum.Yorumlarınızı bekliyorum..

[ferdem]

Farukc sorduğunuz soru çok güzel, bilmediğim bir konuydu, araştırdım. Analitik çözüm kolay görünmüyor, önce problemin diferansiyel denklemine varmak sonra da bulunan denklemi çözebilmek gerekiyor...
delta-t delta-t ilerleterek sayısal çözüm alternatifi var, "Euler method" olarak adlandırılmış.
Peki vektör alanın y bileşeni olmasın ama x bileşeni de x e bağlı değişiyor olsun.
Örn:

durumunda orijine yerleştirilmiş bir m kütlesi için r(t) bulabiliyor muyuz? Buradan başlamak daha iyi olabilir.

Kaynaklar:
Numerical Methods for Particle Tracing in Vector Fields
http://math.stackexchange.com/questions/498108/dropping-a-particle-into-a-vector-field-part-2?rq=1

http://www.falstad.com/vector/

[Farukc]

@ferdem cevabın için çok teşekkür ederim. Ilk sorumun yanıtını aldım.Euler yöntemine baktım fakat tam olarak öğrenemedim. Bu aralar vaktim çok kısıtlı ama euler yöntemini öğrenince bir örnek çözüp atmaya çalışacağım.
Şimdi 2. Sorumuza geçelim o zaman. Bir vektörel elektrik alan düşenilim ve bu alana bir test yükü koyup test yükünün aldığı yolu kaydedelim. Bu bilgi ile vektörel alanımızı ifade edebilirmiyiz?

[ferdem]

Bu bilgi ile vektörel alanı kaydedebilir miyiz?
Peki test yüküne o hareketi yaptıracak vektör alan tek(unique) midir?
Örn: Elektrik vektör alanı fi yönünde büyüklüğü 1/r olsun. r=0.5 te 2*afi ye denk gelir. Diğer bir vektör alan direkt 2*afi olsun. Bu iki vektör alan da r=0.5 e konmuş bir yüke aynı hareketi(ivme, hız, konum) yaptırır. Örnekler arttırılabilir.
Yükün rotasını bilmek aslında sadece o rota boyunca alanı buldurur, diğer bölgelerdeki alan bilgisine hangi şartlarda nasıl ulaşılır... ulaşılacağı garanti edilebilir mi... bilmiyorum.
Elektromagnetikte bazı problemlerde çözümün varlığının, varsa tekliğinin araştırılması da kendi başına problem olabiliyor.

[Farukc]

Alan içindeki yüklerin sayısının çok bir önemi yok çünkü süperpozisyondan dolayı tek bir alanımız oluyor. Benim aklimda şöyle bir şey var  sonuz uzaklıkta bir parçacık olsa bile test yüküne 0 yakınsayarak kuvvet etki edecektir. Yani alanımızdaki her parçacığın birbirine bir etkisi olacaktır. Belki kısıtlı bölgelerde vektörel alanımız 0 olabilir ama bu alan kısıtlı olacaktır. Belli uzunluktaki bir rotayı bilirsek belli bir alandaki vektörel alanı bulabileceğimizi zannediyorum. Sadece içgüdülerim bana bu problemin bir cevabı var diyor.. Ama bir yandanda yanıldığımı düşünüyorum.